Question

Интеграл (x^2*dx)/(x^3+8)

Answer 1

Решение подстановкой в аргумент.

Определяем функцию:
$alpha(x)=x^3+8\ frac{dalpha}{dx}=3x^2Rightarrow dalpha=3x^2dx$

Подставляем в интеграл:
$int frac{x^2}{x^3+8}dx=frac{1}{3}intfrac{3x^2dx}{x^3+8}=frac{1}{3}intfrac{dalpha}{alpha}$
Получили мгновенный интеграл по $alpha$.
Решаем: $intfrac{dalpha}{alpha}=ln|alpha|$
Подставляем обратно как функцию $x$:
$ln|alpha|=ln|x^3+8|$

Ответ: $intfrac{x^2}{x^3+8}dx=frac{1}{3}ln|x^3+8|+mathbf{C}$