Question

lim (sin xy/x)
x→0
y→2

Answer 1

$frac{sin(xy)}{x}=yfrac{sin(xy)}{xy}$
Определяем $alpha(xy)=xyRightarrow alphaunderset{left(x,yright)toleft(0,2right)}{longrightarrow}0$
Тут предел простой: функция непрерывна, потому просто подставляем значения $(x,y)=(0,2)$ и получаем результат.

Преобразуем исходный предел по $alpha$:
$underset{(x,y)to(0,2)}lim frac{sin(xy)}{x}=underset{(alpha,y)to(0,2)}lim yfrac{sin(alpha)}{alpha}$

А вот тут мне не хватает теоремы, по которой я могу устремить значения $x$ и $alpha$ по отдельности (типа теоремы Фубини для интегралов), если упустить ПОЧЕМУ можно переделы менять местами, получим:

$underset{(alpha,y)to(0,2)}lim yfrac{sin(alpha)}{alpha}=underset{alphato0}limBig(underset{yto2}lim frac{sin(alpha)}{alpha}yBig)=underset{alphato0}lim2 frac{sin(alpha)}{alpha}=2$


-----------------------------
Есть другой вариант, не требует теорему, только неравенство $|sin (alpha)|leqalpha$ для любых $alphato0$.

Я докажу что предел функции $f(x,y)=frac{sin(xy)}{x}-2$ равен нулю, отсюда получим предел из примера.

Доказательство:
$Big|frac{sin(xy)}{x}-2Big|leqBig|frac{xy}{x}-frac{2x}{x}Big|=Big|frac{xy-2x}{x}Big|=Big|frac{x}{x}(y-2)Big|$
На проколотой области $(-delta,delta)setminus{0}$ $xneq0$, значит, можем спокойно сократить и получим:
$Big|frac{sin(xy)}{x}-2Big|leqBig|y-2Big|$
Понятно, что $|y-2|underset{(x,y)to(0,2)}longrightarrow 0$.
Из теоремы: $limbig|f(x)big|=0Rightarrowlim f(x)=0$ получаем:

$Big|frac{sin(xy)}{x}-2Big|leq|y-2|underset{(x,y)to(0,2)}longrightarrow 0Rightarrow Big|frac{sin(xy)}{x}-2Big|underset{(x,y)to(0,2)}longrightarrow 0$

Следовательно: $underset{(x,y)to(0,2)}lim frac{sin(xy)}{x}-2=0Rightarrowunderset{(x,y)to(0,2)}lim frac{sin(xy)}{x}=2$

Теперь, всё точно.