Question

Найти полную поверхность и объём правильной четырёхугольной пирамиды, если её высота равна 20 см, а сторона основания 42 см.

Answer 1

1) Объем пирамиды:
Т.к. пирамида правильная, следовательно ее основание - квадрат. Sквадрата = 42^2 = (40 + 2)^2 = 1600 + 160 + 4 = 1764;
Vпирамиды = 1/3 Sосн * h = $frac{1764*20}{3} = 588*20 = 11760$ 

2)По теореме Пифагора найдем апофему:
(расстояние от середины стороны основания до точки пересечения диагоналей квадрата [куда от вершины пирамиды упадет высота] равно половине стороны основания, т.е. 42/2 = 21)

апофема = $sqrt{21^2 + 20^2} = sqrt{(20 + 1)^2 + 400} = sqrt{400 + 40 + 1 + 400} = sqrt{841} = 29$ 

Поскольку пирамида правильная => площади треугольников, образующих ее боковую поверхность, равны; остюда:
Sтреугольника = 1/2 * апофему * сторону основания = $frac{29*42}{2} = 29*21 = 609$

Sбоковой поверхности = Sтреугольника * 4 = 609 * 4 = 2436

Sполной поверхности пирамиды = Sбоковой поверхности + Sоснования = 2436 + S квадрата [из пункта 1) ] = 2436 + 1764 = 2500 + 1700 = 4200

Ответ: 1) 11760 см^3 ; 2) 4200 см^2