Question

Довести, що при а ≥ -1 виконується нерівність а^3+1 ≥ а^2+а

Answer 1

Вычтем из левой части неравенства правую. Теперь нам нужно доказать что а^3 + 1 - а^2 - а >=0 при а>=-1.
Преобразуем выражение:
а^3 - а^2 - а + 1 = а^2 (а-1) - (а-1) = (а-1)(а^2 - 1) = (а+1)(а-1)^2
Рассмотрим это выражение:
(а-1)^2 >= 0 т.к. в квадрате
(а+1) >= 0 т.к. по условию а>=-1.
Значит (а+1)(а-1)^2 >=0, тогда а^3 + 1 - а^2 - а >=0.
Ч.т.д.