Question

Sin2x-sin(3п/2-2x)+1=0

Answer 1

По формуле приведения sin(3pi/2-2x)=-cos2x.
Имеем: sin2x-sin(3pi/2-2x)+1=0 <=> sin2x+cos2x+1=0 <=> (2sinxcosx)+(cos^2x-sin^2x)+(cos^2x+sin^2x)=0 <=> 2sinxcosx+cos^2x=0. Проверим можно ли делать на cos^2x. При cosx=0 2*sinx*0+0=0 <=> 0=0. Нету такого угла, чтобы и син и кос был 0, значит делим на sin^2x.
Получим: 2cos^2x+2sinxcosx=0 |:sin^2x, sinxне=0 <=> 2ctg^2x+2ctgx=0 |: 2 <=> ctg^2x+ctgx=0 <=> ctgx(ctgx+1)=0 <=> [ctgx=0, ctgx+1=0 <=> ctgx=-1. Мы получили совокупность уравнений.
Решаем
1) ctgx=0 <=> x=arcctg0+pi*k, k£Z <=> x=pi/2+pi*k, k£Z (табличное значение);
2) ctgx=-1 <=> x=arcctg(-1)+pi*k, k£Z <=> x=(pi-arcctg1)+pi*k <=> x=3pi/4+pi*k, k£Z.
Но это ещё не все. Необходимо выполнить проверку. Помним, что sinx не = 0, то есть x не = pi*k, k£Z. Также мы видим, что угол 3pi/4 такой же, что и угол -pi/4 (3pi/4=pi-pi/4 <=> ctg(pi-pi/4)=-ctgpi/4=-1.
И так имеем: x=pi/2+pi*k, x=3pi/4+pi*k, x=-pi/4+pi*k, k£Z.
Или можно записать так:
х€{pi/2+pi*k; 3pi/4+pi*k; -pi/4+pi*k, k£Z}.