Question

Помогите решить дифференциальные уравнения 2-го порядка

Answer 1

1.y''=1/x²+3, y'=∫(dx/x²+∫3dx=-1/x+3x+C, y=-Lnx+1,5x²+Cx
2.y''-6y'+9=0 ,составляем характеристическое уравнение однородного ду:λ²-6λ+9=(λ-3)²=0, λ₁=λ₂=3-кратные корни.Тогда общее решение ду имеет вид :у(х)=с₁е³ˣ+с₂е³ˣ·х
3.y''=12x-2,x=1,y'=2,y=4
  y'=∫(12x-2)dx=6x²-2x+c₁, y'(1)=6·1²-2+c₁=3,c₁=-1,y'=6x²-2x-1
  y=∫( 6x²-2x-1)dx=2x³-x²-x+c₂, y(1)=2·1³-1²-1+c₂=4,c₂=4.
y(x)=2x³-x²-x+4
4.y''-3y'-4=0, при х=0,y'=2,y=3
 Составляем характеристическое уравнение:
λ²-3λ-4=0, D=3²+4·4 =16,√D=5, λ₁=(3+5)/2=4,  λ₂=-1,тогда общее решение ду имеет вид:у(х)=c₁e⁻ˣ+c₂e⁴ˣ
Учитывая начальные условия ,имеем:
y'(x)=-c₁e⁻ˣ+4c₂e⁴ˣ  y'(0)=-c₁+4c₂=2
у(х)=c₁e⁻ˣ+c₂e⁴ˣ ,     y(0)= c₁+c₂ =3,
                                       --------------
                                             5c₂-5, c₂=1, c₁+1=3, c₁=2
Окончательно получаем:у(х)=е⁻ˣ+2е⁴ˣ
5. Составляем характеристическое уравнение:
λ²-2λ+26=0,D₁=1²=26=-25,√D₁=5i , λ₁=1-5i , λ₂=1+5i
Тогда общее решение ду имеет вид:
у(х)=c₁eˣcos5x+c₂eˣsin5x