Question

Срочно. 3 задания. Помогите решить пожалуйста подробно.

Answer 1

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e^(rx). Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r² -4 r + 4 = 0
D = (-4)² - 4 • 1 • 4 = 0
r1 = (-(-4))/(2*1) = 2.

Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r1 = 2 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e2x
y2 = xe2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
$y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
$y=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$
Найдем частное решение при условии: y(0) = 3, y'(0) = 5
Поскольку y(0) = c1, то получаем первое уравнение:
c1 = 3
Находим первую производную:
y' = 2 • c1 • e2 • x+2 • c2 • x • e2 • x+c2 • e2 • x
Поскольку y'(0) = 2 • c1+c2, то получаем второе уравнение:
2 • c1+c2 = 5
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1 = 3
2 • c1+c2 = 5
т.е.:
c1 = 3, c2 = -1
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: $y=3e^{2x}-xe^{2x}.$