Question

Найдите длины сторон равнобедренноготреугольника ABC с основанием AC, еслиизвестно, что длины его высот AN и BMравны соответственно n и m. 

Answer 1

Чертеж - во вложении.
Пусть АВ=ВС=х, АС=у (для удобства)
По формуле площади треугольника через высоту $S= frac{1}{2} h*a$ получаем соотношения:
$S_{Delta}= frac{1}{2}my; S_{Delta}= frac{1}{2}nx.$
Следовательно, $frac{1}{2}my= frac{1}{2}nx = textgreater y= frac{n}{m}x$
По формуле площади треугольника через синус угла $S= frac{1}{2} a*b*sin alpha$ получаем
$S_{Delta}= frac{1}{2} xy*sin C= frac{1}{2} x* frac{n}{m}x *sin C= frac{nx^2}{2m} *sin C$
Сопоставим площади:
$frac{nx^2}{2m} *sin C=frac{1}{2}nx = textgreater sin C= frac{m}{x}$
В Δ АВС по теореме косинусов АВ²=ВС²+АС²-2ВС·АС·cos C.
х² = х² + у² - 2ху·cos C
$cos C= frac{y^2}{2xy} =frac{y}{2x} = frac{nx}{m} * frac{1}{2x}= frac{n}{2m}$
По основному тригон.тождеству sin²C+cos²C=1. Отсюда
$sin^2C=1-cos^2C=1- frac{n^2}{4m^2} = frac{4m^2-n^2}{4m^2}$
$frac{4m^2-n^2}{4m^2} =frac{m^2}{x^2} \ x^2=frac{4m^4} {4m^2-n^2} \ x= sqrt{ frac{4m^4} {4m^2-n^2} }= frac{2m^2}{ sqrt{4m^2-n^2} } =BC=AB.$
$AC=y= frac{n}{m} x= frac{n}{m} *frac{2m^2}{ sqrt{4m^2-n^2} } =frac{2mn}{ sqrt{4m^2-n^2} } .$
Все стороны найдены.