Question

Используя свойства монотонности функций, решите три уравнения
$1. sqrt{x^{2} +5} + sqrt{2x^{2}+1} =6 ; frac{x^{4} +5x-6}{x} =10; frac{24}{x+5} - sqrt{x+3} =2$

Answer 1

1) Сделаем замену $x^2=tgeqslant0$. После ней уравнение примет вид $sqrt{t+5}+sqrt{2t-1}=6$
Функция, стоящая в левой части, монотонно возрастает как сумма двух монотонно возрастающих функций, поэтому она принимает каждое своё значение только один раз, и у уравнения (относительно t) может быть не более одного корня. Подбором находим t = 4.
$x^2=4$
Ответ. $boxed{x=pm2}$

2) Домножим всё на x, перенесём в одну часть:
$x^4-5x-6=0$
Рассматриваем производную функции, стоящей в левой части:
$(x^4-5x-6)'=4x^3-5$
Производная отрицательна при $x<sqrt[3]{5/4}$, положительна при $x>sqrt[3]{5/4}$, поэтому функция на этих промежутках монотонно убывает и возрастает соответственно, и на каждом из этих промежутков может быть не более одного корня уравнения. Подбором находим x = -1, x = 2; других корней быть не может.
Ответ. x = -1, x = 2

3) Для того, чтобы корень существовал, требуется, чтобы подкоренное выражение было неотрицательно, а при таких x знаменатель строго положителен. При $x geqslant -3$ функция, стоящая в левой части, монотонно убывает, значит, у уравнения есть не более одного корень. Корень опять можно угадать, это x = 1.
Ответ. x = 1.

Answer 2

Во втором уравнении х= - 1 и х=2

Answer 3

Точно( Поправим...