Question

решить неравенство
(2+√3)^x+(2-√3)^x<3

Answer 1

$(2+sqrt{3})^{x} +(2-sqrt{3})^{x} textless 3$
Так как $(2- sqrt{3} )(2+ sqrt{3} )=1$, то справедливо соотношение:
$(2-sqrt{3})=(2+sqrt{3})^{-1}$
Поэтому $(2+sqrt{3})^{x}+(2+sqrt{3})^{-x} textless 3$
Пусть $(2+sqrt{3})^{x}=t$>0. Тогда
$t+ frac{1}{t} textless 3$
$frac{t^{2}-3t+1}{t} textless 0$
Найдем корни числителя.
$D=(-3)^{2}-4*1*1=5$
$t_1= frac{3- sqrt{5} }{2}$
$t_1= frac{3+ sqrt{5} }{2}$
$frac{(t- frac{3-sqrt{5}}{2} )(t- frac{3+sqrt{5}}{2} )}{t} textless 0$
Так как t>0, $(t- frac{3-sqrt{5}}{2} )(t- frac{3+sqrt{5}}{2} ) textless 0$
t∈$(frac{3-sqrt{5}}{2};frac{3+sqrt{5}}{2})$
Тогда x∈$(log_{2+sqrt{3}}(3-sqrt{5});log_{2+sqrt{3}}(3+sqrt{5}))$