Question

найдите все значения а,при которых уравнение не имеет решений a(x^2+x^-2)-(a+1)(x+x^-1)+5=0

Answer 1

$a(x^2+ frac{1}{x^2} )-(a+1)( x+frac{1}{x} )+5=0 \ a((x+frac{1}{x})^2-2)-(a+1)(x+frac{1}{x})+5=0 \ a(x+frac{1}{x})^2-(a+1)(x+frac{1}{x})+5-2a=0 \ x+1/x=t \ at^2-(a+1)t+5-2a=0$
Случай когда а=0 нам не подходит.
Если а≠0:
$D=(a+1)^2-4a(5-2a)=9a^2-18a+1$
D<0, при а∈((3-2√2)/3; (3+2√2)/3). Это один из случаев когда действительных корней не будет. Рассмотрим другой.
Множество значений x+1/x состоит из промежутков (-oo; -2] ∪ [2; +oo). Значит, чтобы основное уравнение не имело решений достаточно того, что график функции f(t)=at^2-(a+1)t+5-2a=0 располагается между -2 и 2. Это задается условиями:
{a>0
{f(-2)=4a+7>0
{f(2)=3>0
{-2<(a+1)/(2a)<2
в совокупности с
{a<0
{f(-2)=4a+7<0
{f(2)=3<0
{-2<(a+1)/(2a)<2
Первая система имеет решение a>1/3. Вторая система решений не имеет. Теперь объеденим с этим решением то, что получилось при исследовании дискриминанта.
a∈(3-2√2)/3; +oo) - окончательный ответ.