Question

sin^2(0.5*arcsin(0.8)-2*arctg(-2)) Прошу объяснения

Answer 1

$sin^2( frac{1}{2} arcsin 0,8-2arctg(-2))=sin^2( frac{1}{2} arcsin 0,8+2arctg 2)$
Введём обозначения: $arcsin 0,8=x; arctg 2=y; Longrightarrow sin x=0,8 u tg y =2$
Отсюда следует, что х и у - углы I четверти. И все дальнейшие рассуждения будут опираться на этот факт. В новых обозначениях задача выглядит так:
При условии, что sin x =0,8 и tg у = 2, где х и у - углы I четверти, найти значение выражения $sin^2( frac{x}{2} +2y)$.
Преобразуем его с помощью формулы синуса суммы:$sin^2( frac{x}{2} +2y)=(sinfrac{x}{2} cos2y+cosfrac{x}{2} sin2y)^2$
Находим числовое значение каждого элемента в скобках.
$1) sinfrac{x}{2} =sqrt{ dfrac{1-cos x}{2} }=sqrt{ dfrac{1-sqrt{1-sin^2x}}{2} }= sqrt{ dfrac{1-sqrt{1-(0,8)^2}}{2} }=\ = sqrt{ dfrac{1-sqrt{1-0,64}}{2} }=sqrt{ dfrac{1-sqrt{0,36}}{2} }=sqrt{ dfrac{1-0,6}{2} }=sqrt{0,2}= frac{sqrt5}{5} .$
$2) cosfrac{x}{2} =sqrt{1-sin^2frac{x}{2}}=sqrt{1-(frac{sqrt5}{5})^2}=sqrt{1-frac{1}{5}}=sqrt{frac{4}{5}}= frac{2 sqrt5}{5}$
$3) cos2y= frac{1-tg^2y}{1+tg^2y} = frac{1-4}{1+4} =- frac{3}{5} \ 4) sin2y= frac{2tg y}{1+tg^2y} = frac{4}{1+4} = frac{4}{5}$
Получаем результат:
$sin^2( frac{x}{2} +2y)=(sinfrac{x}{2} cos2y+cosfrac{x}{2} sin2y)^2=\ =( frac{sqrt5}{y} *(- frac{3}{5})+ frac{2sqrt5}{5} * frac{4}{5})^2=( frac{8sqrt5}{25} -frac{3sqrt5}{25} )^2=(frac{sqrt5}{5} )^2= frac{1}{5}=0,2$
Ответ: 0,2