Question

Какое наименьшее значение может принимать значение: sin^6x+cos^6x

Answer 1

Преобразуем выражение:
$y=sin^6x+cos^6x=(sin^2x)^3+(cos^2x)^3= \ =(sin^2x+cos^2)(sin^4x-sin^2xcos^2x+cos^4x)=\ =(sin^2x+cos^2x)^2-3sin^2xcos^2x=1- frac{3}{4} sin^22x=\ =1- frac{3}{8} (1-cos4x)=frac{5}{8}+frac{3}{8}cos4x.$
Оценим новое выражение
$-1 leq cos4x leq 1 \ -frac{3}{8} leq frac{3}{8}cos4x leq frac{3}{8}\ frac{5}{8} -frac{3}{8} leq frac{5}{8} + frac{3}{8}cos4x leq frac{5}{8} +frac{3}{8}\ frac{1}{4} leq y leq 1$
Из последнего неравенства следует, что исходное выражение может принимать наименьшее значение, равное $frac{1}{4}$ = 0,25.

Answer 2

Можно было остановиться уже на 1-3/4*sin^2(x). Понятно, что выражение минимально, когда синус квадрат максимаелн, т.е. равен 1. Значит ответ 1-3/4=1/4.

Answer 3

вернее 1-3/4*sin^2(2x).

Answer 4

разумеется, понятно. моя традиция - понизить степень. не навязываю )))

Answer 5

Классно-классно!