Question

ПОЖАЛУЙСТА, ПОМОГИТЕ С РЕШЕНИЕМ ЭТОЙ ЗАДАЧИ!!! Стороны основания треугольной пирамиды равны 4, 6 и 7. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом п/3. Найдите объем пирамиды.

Answer 1

Для вычисления объема пирамиды нужно узнать ее площадь основания и высоту. Для вычислений понадобится полупериметр треугольника-основания p=(4+6+7)/2=17/2.
Площадь произвольного треугольника по трем сторонам равна $S= sqrt{p*(p-a)*(p-d)*(p-c)}$$= sqrt{ frac{17}{2}( frac{17}{2}-4)( frac{17}{2}-6)( frac{17}{2}-7) }=sqrt{ frac{17}{2} frac{17-8}{2} frac{17-12}{2} frac{17-14}{2} }= sqrt{ frac{17*9*5*3}{2*2*2*2} }$$= frac{3}{4} sqrt{17*5*3}$
У пирамиды с равным углом всех ребер к основанию, высота, опущенная из вершины, попадает в центр описанной около основания окружности. Радиус такой окружности для произвольного треугольника равен $R= frac{abc}{4S}$$= frac{4*6*7}{ 4*frac{3}{4} sqrt{17*5*3} }$$= frac{56}{ sqrt{17*5*3} }$
Ее радиус и высота пирамиды- катеты прямоугольного треугольника, и высота равна $h=R*tg frac{ pi }{3} = frac{56}{ sqrt{17*5*3}} * sqrt{3}= frac{56}{ sqrt{17*5} }$
Объем пирамиды $V= frac{1}{3} Sh= frac{1}{3} frac{3}{4} ( sqrt{17*5*3})* frac{56}{ sqrt{17*5} } =14 sqrt{3}$ кубических единиц.