Question

как доказать что слово убаюкивает 1 спряжение

Answer 1

 Убаюкивает ( убаюкивАТЬ, на  ать, 1 спр., ЕТ, не искл. ). В глаголе безударное личное окончание.

Answer 2

Надо поставить в инфинитив. Что делать? Убаюкивать. Оканчивается на -ать. Это слово не исключение. А, значит, раз не исключение и оканчивается на -ать, то первое спряжение.