Question

около Круга радиуса к описан ромб с углом 150 градусов Найдите площадь ромба

Answer 1

Дано: ABCD-ромб, ∠В-150°, k-радиус вписанного круга.

Если ∠В=150°, то ∠А=180°-∠В=180°-150°=30°
диагонали АС и BD-пересекаются под прямым углом и делят ромб пополам, то есть АС и BD-биссектрисы, значит О-центр круга и ∠ВАО=30°/2=15°
проведем радиус в точку касания Н. (радиус проведенный в точку касания перпендикулярен самой касательной)
Значит ОН также является высотой ΔАВО проведенной из прямого угла АОВ, следовательно ΔАНО подобен ΔОНВ, ∠BAO=∠HOB=15°
(ЕСЛИ ТЕКСТ НИЖЕ ПОЛНОСТЬЮ НЕ ОТОБРАЖАЕТСЯ, ТО ПОСМОТРИ СКРИН)

$1) sin15= frac{OH}{AO} \ \AO= frac{OH}{sin15} = frac{k}{sin15} \ \ 2) cos15= frac{OH}{OB} \ \ OB=frac{OH}{cos15} =frac{k}{cos15} \ \ AB ^{2} =AO ^{2} +OB^{2} =frac{k ^{2} }{sin ^{2} 15}+frac{k ^{2} }{cos ^{2} 15}= frac{k ^{2}cos^215+k^2sin^215 }{sin ^{2} 15*cos ^{2} 15} = \ \ = frac{k^2(cos^215+sin^215)}{ frac{1}{4} *4*{sin ^{2} 15*cos ^{2} 15}} = frac{k^2}{ frac{1}{4}sin^230 } = frac{k^2}{ frac{1}{4}* frac{1}{4} } =16k^2 \ \ AB= sqrt{16k^2} =4k$

Площадь любого многоугольника в который можно вписать в окружность находится по формуле:

S=p*r, где p-полупериметр

p=4*AB/2=4*4k/2=8k

S=8k*k=8k²

Ответ: 8k²