Question

Обчислити за допомогою диференціала значення функції y=∛x, при x=8,1.

Answer 1

Формула для приближённого вычисления с помощью дифференциала имеет вид:
f(x₀+Δx)≈f(x₀)+d[f(x₀)]
По условию задания имеем функцию f(x)=∛x, необходимо вычислить приближённое значение f(8,1)=∛8,1.
Число 8,1 представим в виде 8+0,1, то есть х₀=8 Δх=0,1.
Вычислим значение функции в точке х₀=8
f(8)=∛8=2
Дифференциал в точке находится по формуле
d[f(x₀)]=f'(x₀)*Δx
Находим производную функции f(x)=∛x
f'(x)=(∛x)'=$(x^{ frac{1}{3} })'= frac{1}{3} x^{- frac{2}{3} }= frac{1}{3 sqrt[3]{x^2} }$
найдём её значение в точке х₀=8
f'(8)=$frac{1}{3 sqrt[3]{8^2} }= frac{1}{12}=0,0833$
d[f(8)]=0,0833*0,1=0,0083
Подставляем найденные значения в формулу вычисления с помощью дифференциала и получаем
f(8,1)=∛8,1≈2+0,0083=2,0083