Question

1. Знайти суму 1 + а + а² + а³ + ...., де |а| < 1

2. Знайти суму 1/2 + 1/4 +1/8 + 116 + ........

Answer 1

Это геометрическая прогрессия. Сумма членов 1/(1-а)
При а=1/2    сумма равна 1/(1/2)=2. Так как в задании второй ряд начинается с 1/2, то 1 надо вычесть. Ответ 1.
Ответ: 1)  1/(1-а)
2) 1.
Примечание :  вывод формулы.Пусть С=1 + а + а² + а³ + ....
и ряд сходится ( можно отдельно показать, что он сходится для
|а| < 1 . Тогда С*а=С-1 (после умножения пропал первый член суммы).
Отсюда : 1=С*(1-а) и С=1/(1-а)

Answer 2

⁷

Answer 3

1) данные числа образуют геометрическую прогрессию, где каждый последующий член больше предыдущего на "а", то есть знаменатель прогрессии q=a. Если |a|<1, (|q|<1), то данная последовательность является УБЫВАЮЩЕЙ геометрической прогрессией.
Её сумма находится по формуле:
 
$S= frac{b_1}{1-q}$

$S= frac{1}{1-a} \ \ OTBET: frac{1}{1-a}$

2)данные числа также образуют геометрическую прогрессию, где каждый последующий член больше предыдущего на 1/2, то есть знаменатель прогрессии q=1/2.
0<1/2<1, (|q|<1), Следовательно данная последовательность является УБЫВАЮЩЕЙ геометрической прогрессией.
$S= frac{1/2}{1-(1/2)} = frac{1/2}{1/2} =1\ \ OTBET: 1$