Question

Пусть a-четное число, не делящееся на 4. Докажите, что у числа a поровну четных и нечетных делителей.

Answer 1

1) Число делителей числа вида 2a, где a нечетное, четно, поскольку оно не является полным квадратом. Полным квадратом не является из-за того, что в разложении на простые множители у числа 2a всего одна 2, которая не может быть представлена как квадрат натурального числа.
2) Раз доказали, что число делителей четно, то разобьем все делители на две группы - в которых числа четные и в которых числа нечетные. Каждому четному числу из первой группы соответствует ровно одно нечетное число из второй группы такое, что их произведение дает число 2a....Таких групп n/2, где n-число делителей числа 2a. Поэтому количество четных делителей равно количеству нечетных делителей.
________________________________
Можно доказать по-другому. Есть у нас число 2a. Выпишем все множители числа a. Множество множителей числа 2a содержит множество множителей числа a. Оставшиеся множители числа 2a - это произведение каждого из множителей числа a на число 2, поскольку каждый из множителей числа a взаимно простой с 2. Множители, в состав которых не входит 2 - нечетные, а в состав которых входит 2 - четные. Раз из одного множества с нечетными элементами можно получить второе множество с четными элементами, причем их количество совпадает, то у числа 2a количество четных делителей равно количеству нечетных делителей.......В конце концов, это очевидно.....

Answer 2

Я увидела более простое решение. Пусть искомое число 2a. 2a=2*a. a-нечетное число, следовательно имеет n нечетных делителей, тогда 2a будет иметь 2n делителей. Следовательно число 2a будет иметь n нечетных делителей и n четных делителей. Спасибо за то, что натолкнули на мысль.