Question

Найдите $Cos^{2}x$ если $Cos^{12}x-sin^{10}x=1$

Answer 1

cos(x)^12-sin(x)^10=1
cos(x)^12=sin(x)^10+1.
Рассмотрим две функции:
f(x)=cos(x)^12
g(x)=sin(x)^10+1
Так как -1<=cos(x)<=1, то есть 0<=|cos(x)|<=1,
то 0<=cos(x)^12<=1.
Так как -1<=sin(x)<=1, то есть 0<=|sin(x)|<=1,
то 0<=sin(x)^10<=1,
1<=sin(x)^10+1<=2
Очевидно, что уравнение f(x)=g(x) имеет решения, если области значений f(x) и g(x) пересекаются. А пересекаются они, если f(x)=g(x)=1.
То есть sin(x)^10+1=1,
sin(x)^10=0,
sin(x)^2=0,
cos(x)^2 = 1-sin(x)^2=1.
Ответ: 1.