Question

№46.15(a) Решите уравнение

Answer 1

О.Д.З.:
$begin{cases} 2x+1 textgreater 0, 2x+1 neq 1; \ 5-2x textgreater 0, 5-2x neq 1; \ 5+8x-4x^2 textgreater 0;\ 1+4x+4x^2 textgreater 0;end{cases} Leftrightarrow begin{cases} x textgreater -0,5, x neq 0; \ x textless 2,5, x neq 2; \ (x+0,5)(x-2,5) textless 0;\ (1+2x)^2 textgreater 0;end{cases} \ Rightarrow begin{cases} x in (-0,5;0) cup (0;2) cup (2;2,5); \ (x+0,5)(x-2,5) textless 0;\ x neq 0,5;end{cases} Rightarrow \ Rightarrow boxed {x in (-0,5;0) cup (0;2) cup (2;2,5)}$
Преобразуем (формула перехода к новому основанию, напр. 10):
$frac{lg(5-2x)(1+2x)}{lg(1+2x)} + frac{lg(1+2x)^2}{lg(5-2x)} =4$
$frac{lg(5-2x)}{lg(1+2x)} + frac{lg(1+2x)}{lg(1+2x)}+ frac{2lg(1+2x)}{lg(5-2x)} =4$
$frac{lg(5-2x)}{lg(1+2x)} + 1+2* frac{lg(1+2x)}{lg(5-2x)} =4$
$frac{lg(5-2x)}{lg(1+2x)} +2* frac{lg(1+2x)}{lg(5-2x)} -3=0$
Замена $frac{lg(5-2x)}{lg(1+2x)} =t$
$t+ frac{2}{t} -3=0$
t² - 3t + 2 = 0
t=1 или t=2
$1) frac{lg(5-2x)}{lg(1+2x)} =1$
5 - 2x = 1 + 2x
4x = 4
x = 1 ∈ ОДЗ
$2) frac{lg(5-2x)}{lg(1+2x)} =2$
5 - 2x = (1 + 2x)²
5 - 2x = 1 + 4x + 4x²
2x² + 3x - 2 = 0
x = 0,5 ∈ ОДЗ
x = -2 ∉ ОДЗ.
Ответ: 0,5; 1.