Question

При каком p вершина параболы y = x^
2 + px + 58 находится на
расстоянии 10 от начала координат, если известно, что вершина параболы
лежит в третьей четверти.

Answer 1

1) Координаты вершины параболы - точка (x', y'):
$x'=- frac{p}{2} ; y'=y(- frac{p}{2})= frac{p^2}{4}- frac{p^2}{2}+58=58-frac{p^2}{4}\ Rightarrow (- frac{p}{2}; 58-frac{p^2}{4})$
2) Т.к. вершина параболы - в III четверти, то x'<0 и y'<0, т.е.
$begin {cases} - frac{p}{2} textless 0 \ 58-frac{p^2}{4} textless 0 end {cases} Leftrightarrow begin {cases} p textgreater 0 \ p^2} textgreater 232 end {cases} Rightarrow p textgreater sqrt{232}$
3) Расстояние до начала координат равно 10 и задается уравнением:
$(- frac{p}{2})^2+(58- frac{p^2}{4} )^2=10^2 \ frac{p^2}{4}+(58- frac{p^2}{4} )^2=100$
Замена $t=frac{p^2}{4}, t textgreater 58$
t + (58 - t)² - 100 = 0
t² - 115t + 3264 = 0
D = 13225-13026 = 169
t=51 или t=64
Требованию t>58 удовлетворяет t=64, поэтому
$frac{p^2}{4}=64 Rightarrow p = pm 16$
Т.к. $p textgreater sqrt{232}$, то р=16.
Ответ: р=16.