Question

Итак,вот сама задача. Заступорился сильно
|α+β|= |α-β|
Доказать,что векторы α и β-перпендикулярны

Answer 1

ответ смотри на фото

Answer 2

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Рассмотрим задачу на плоскости (в пространстве просто добавится третья координата).
Решение будем проводить в координатах.
$left(vec alpha,vec betaright)=0 to alpha_xcdotbeta_x+alpha_ycdotbeta_y=0 \ |alpha+beta|=left|sqrt{(alpha_x+beta_x)^2+(alpha_y+beta_y)^2}right|; \ |alpha-beta|=left|sqrt{(alpha_x-beta_x)^2+(alpha_y-beta_y)^2}right|$
Возводим обе части последних уравнений в квадрат, заодно избавляясь и от модулей.
$|alpha+beta|^2=(alpha_x+beta_x)^2+(alpha_y+beta_y)^2; \ |alpha-beta|^2=(alpha_x-beta_x)^2+(alpha_y-beta_y)^2; \ (alpha_x+beta_x)^2+(alpha_y+beta_y)^2=(alpha_x-beta_x)^2+(alpha_y-beta_y)^2 \ 2alpha_xbeta_x+2alpha_ybeta_y=-2alpha_xbeta_x-2alpha_ybeta_y \ 4(alpha_xbeta_x+alpha_ybeta_y)=0 \ alpha_xbeta_x+alpha_ybeta_y=0$
Что и требовалось доказать.

Answer 3

Еще можно рассмотреть разность и сумму векторов в геометрической интерпретации. Получится треугольник и нужно будет доказать, что он прямоугольный. Но там появляется теорема косинусов и вывод длиннее (похож на решение, приведенное vitmaro)