Question

Помогите, пожалуйста!
Найти область определения:
$y= frac{ sqrt{5x- x^{2} -6} }{ sqrt[5]{ x^{2} -4} }$

Answer 1

$\5x-x^2-6 geq 0 wedge x^2-4 neq 0 \ \-x^2+2x+3x-6 geq 0 wedge (x-2)(x+2) neq 0 \ \-x(x-2)+3(x-2) geq 0 wedge x-2 neq 0 wedge x+2 neq 0 \ \(x-2)(3-x) geq 0 wedge x neq -2 wedge x neq 2 \ \. [2,3]backslash{-2, 2} \ \D=(2, 3].$

Answer 2

$displaystyle y(x)= frac{ sqrt{5x-x^2-6}}{ sqrt[5]{x^2-4}} = frac{P(x)}{Q(x)}$
Область определения функции y(x) складывается их областей определения функций P(x) и Q(x).
Функция P(x) определена, если под квадратным корнем будет неотрицательное значение.
Функция Q(x) определена везде, поскольку у корня степень нечетная. Однако определение y(x) требует Q(x) ≠ 0.

Для нахождения области, в которой P(x) неотрицательно исследуем эту функцию.
Попытаемся найти корни уравнения P(x)=0
$sqrt{5x-x^2-6}=0; -x^2+5x-6=0; x^2-5x+6=0 \ D=(-5)^2-4cdot1cdot6=25-24=1; sqrt{D}=1 \ displaystyle x_{1,2}= frac{5pm1}{2}; x_1=2; x_2=3$
Поскольку коэффициент при x² отрицательный, график функции - парабола, направленная ветвями вниз и положительные значения функция имеет при значениях аргумента, располагающихся между корнями.
ОДЗ для P(x): x∈[2;3]

Теперь найдем область определения для Q(x) ≠ 0.
x² - 4 ≠ 0 to x ≠ -2, x ≠ 2

Пересечение этих ОДЗ дает x ∈ (2;3]