Question

Упростить выражение $frac{ (m-1) sqrt{m} -(n-1) sqrt{n} }{ sqrt{ m^3n }+mn+ m^{2}-m }$

Answer 1

Решение....................

Answer 2

$frac{(m-1)sqrt{m}-(n-1)sqrt{n}}{sqrt{m^3n}+mn+m^2-m}$

1. В знаменателе алгебраической дроби попытаемся вынести m за скобки, применив обратное свойство распределительного умножения: 
$sqrt{m^3n}+mn+m^2-m=sqrt{m^2}*sqrt{mn}+mn+m^2-m=\msqrt{mn}+mn+m^2-m=m(sqrt{mn}+n+m-1)$. 

2.1. Перемножаем всё, что находится в числителе: 
$(m-1)sqrt{m}-(n-1)sqrt{n}=m*sqrt{m}-sqrt{m}-(n*sqrt{n}-sqrt{n})=\sqrt{m^2}*sqrt{m}-sqrt{m}-sqrt{n^2}*sqrt{n}+sqrt{n}=\sqrt{m^3}-sqrt{m}-sqrt{n^3}+sqrt{n}=(sqrt{m})^3-sqrt{m}-(sqrt{n})^3+sqrt{n}$
2.2. Как мы видим, в числителе хорошо виднеется разность кубов; раскладываем на множители, заключаем оставшиеся 2 слагаемых в скобки с минусом перед ними и смотрим, что получается: 
$(sqrt{m})^3-(sqrt{n})^3-sqrt{m}+sqrt{n}=\(sqrt{m}-sqrt{n})((sqrt{m})^2+sqrt{m}*sqrt{n}+(sqrt{n})^2)-(sqrt{m}-sqrt{n})=\(sqrt{m}-sqrt{n})(m+sqrt{mn}+n)-(sqrt{m}-sqrt{n})$
2.3. Выделяем общий множитель: 
$(sqrt{m}-sqrt{n})(m+sqrt{mn}+n)-(sqrt{m}-sqrt{n})=\(sqrt{m}-sqrt{n})(m+sqrt{mn}+n-1)$

3. Записываем дробь в таком виде, в каком все привыкли её видеть: 
$frac{(sqrt{m}-sqrt{n})(m+sqrt{mn}+n-1)}{m(sqrt{mn}+n+m-1)}$

Наглядно видно даже, что, как и где сокращается.
Ответ: $frac{(m-1)sqrt{m}-(n-1)sqrt{n}}{sqrt{m^3n}+mn+m^2-m}=frac{sqrt{m}-sqrt{n}}{m}$

Answer 3

Спасибо!