Question

tg^3x+tg^2x+ctgx^2+ctg^3x-4=0

Answer 1

Легко видеть, что tg²(x)+1/tg²(x) принимает значения на промежутке [2; +oo), а tg³(x)+1/tg³(x) принимает значения на промежутках (-oo; -2] ∪ [2; +oo).
Пусть tgx>0, тогда оба наших выражения ≥2, а их сумма  ≥4. Ясно, что в таком случае левая часть уравнения будет равна нулю только при tgx=1, то есть при 
x=π/4+πn, n∈Z.
Если же tgx<0 сумма выражений не превышает ноль, а значит уравнение в этом случае решений не имеет.
Ответ: x=π/4+πn, n∈Z