Question

Сумма ряда Σ[n=1, бесконечность](1/n^3)

Answer 1

$sum limits _{n=1}^{infty }frac{1}{n^3}\\f(x)=frac{1}{x^3}; -; nepreruvna\\f(x) textgreater 0; pri; xin [, 1,+infty )\\f(x); -; monotonno; ybuvayushaya; f(1) textgreater f(2) textgreater f(3) textgreater ...\\int limits _{1}^{+infty}f(x), dx=int limits _{1}^{+infty}frac{dx}{x^3}=limlimits _{Ato +infty }int limits _{1}^{A}frac{dx}{x^3}=limlimits _{Ato +infty } frac{x^{-2}}{-2}|_1^{A}=\\=-frac{1}{2}cdot limlimits _{Ato +infty }(frac{1}{A^2}-1)=-frac{1}{2}cdot (0-1)=frac{1}{2}; ; -; sxoditsya$

Несобственный интеграл сходится  ⇒  ряд тоже сходится.