Найти синус большего острого угла прямоугольного треугольника, если радиус окружности , описанной около треугольника, в 2,5 раза больше радиуса вписанной окружности
Ответы
Ответ дал:
0
Радиус вписанной окружности для прямоугольного треугольника
![r = frac{a + b - c}{2} r = frac{a + b - c}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=r+%3D+frac%7Ba+%2B+b+-+c%7D%7B2%7D)
Радиус описанной окружности
![R = frac{c}{2} R = frac{c}{2}](https://tex.z-dn.net/?f=R+%3D+frac%7Bc%7D%7B2%7D)
Из условия
или ![frac{c}{a+b-c} frac{c}{a+b-c}](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7Bc%7D%7Ba%2Bb-c%7D)
![a+b= frac{c}{2.5} + c a+b= frac{c}{2.5} + c](https://tex.z-dn.net/?f=a%2Bb%3D+frac%7Bc%7D%7B2.5%7D+%2B+c+)
Возведем в квадрат обе стороны
![a^2 + b^2 + 2ab = frac{49}{25}c^2 a^2 + b^2 + 2ab = frac{49}{25}c^2](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2+%2B+b%5E2+%2B+2ab+%3D+frac%7B49%7D%7B25%7Dc%5E2)
=> ![S = frac{6}{25}c^2 S = frac{6}{25}c^2](https://tex.z-dn.net/?f=S+%3D+frac%7B6%7D%7B25%7Dc%5E2)
Выразим катеты через гипотенузу и углами
![a = csin alpha\ b = csin beta a = csin alpha\ b = csin beta](https://tex.z-dn.net/?f=a+%3D+csin+alpha%5C+b+%3D+csin+beta++)
Теорема Пифагора
![c^2 = a^2 + b^2 = c^2sin^2 alpha + c^2sin^2 beta c^2 = a^2 + b^2 = c^2sin^2 alpha + c^2sin^2 beta](https://tex.z-dn.net/?f=c%5E2+%3D+a%5E2+%2B+b%5E2+%3D+c%5E2sin%5E2+alpha++%2B+c%5E2sin%5E2+beta++)
Получается следующее![sin^2 alpha + sin^2 beta = 1 sin^2 alpha + sin^2 beta = 1](https://tex.z-dn.net/?f=sin%5E2+alpha+%2B+sin%5E2+beta++%3D+1)
Теперь найдем произведение углов с помощью формулы для нахождения площади
или ![frac{c^2sin beta sin alpha }{2} frac{c^2sin beta sin alpha }{2}](https://tex.z-dn.net/?f=frac%7Bc%5E2sin+beta+sin+alpha+%7D%7B2%7D)
В начале мы выразили площадь через гипотенузу
![sin alpha sin beta = frac{12}{25} sin alpha sin beta = frac{12}{25}](https://tex.z-dn.net/?f=sin+alpha+sin+beta+%3D+frac%7B12%7D%7B25%7D)
Теперь из выражения
получаем следующее
Подставляем
![(sin alpha + sin beta )^2 = frac{49}{25}\ sin alpha + sin beta = 1.4 (sin alpha + sin beta )^2 = frac{49}{25}\ sin alpha + sin beta = 1.4](https://tex.z-dn.net/?f=%28sin+alpha+%2B+sin+beta+%29%5E2+%3D+frac%7B49%7D%7B25%7D%5C+sin+alpha+%2B+sin+beta+%3D+1.4)
Теперь осталось найти углы
![sin alpha = 1.4 - sin beta sin alpha = 1.4 - sin beta](https://tex.z-dn.net/?f=sin+alpha++%3D+1.4+-+sin+beta)
![sin^2 beta - 1.4sin beta + 0.48 = 0 sin^2 beta - 1.4sin beta + 0.48 = 0](https://tex.z-dn.net/?f=sin%5E2+beta+-+1.4sin+beta+%2B+0.48+%3D+0)
![sin beta = 0.6 sin beta = 0.6](https://tex.z-dn.net/?f=sin+beta++%3D+0.6)
![sin alpha = 0.8 sin alpha = 0.8](https://tex.z-dn.net/?f=sin+alpha+%3D+0.8)
Так в промежутке от 0 до 90 синус возрастает то![sin alpha = 0.8 sin alpha = 0.8](https://tex.z-dn.net/?f=sin+alpha+%3D+0.8)
будет наибольшим острым углом в градусах будет приблизительно 53
Радиус описанной окружности
Из условия
Возведем в квадрат обе стороны
Выразим катеты через гипотенузу и углами
Теорема Пифагора
Получается следующее
Теперь найдем произведение углов с помощью формулы для нахождения площади
В начале мы выразили площадь через гипотенузу
Теперь из выражения
Подставляем
Теперь осталось найти углы
Так в промежутке от 0 до 90 синус возрастает то
будет наибольшим острым углом в градусах будет приблизительно 53
Вас заинтересует
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
9 лет назад