Question

a^2006 +1/a^2006 если a^2 -a + 1 =0. Что нужно знать чтобы решить?

Answer 1

a²-a+1=0
D=1-4=-3
a₁=(1-i√3)/2  или  a₂=(1+i√3)/2
корни комплексные.
a₁a₂=1  ⇒  a₁=1/a₂;  a₂=1/a₁.

Применяем тригонометрическую форму записи
комплексного числа
a₁=(1-i√3)/2=cos(-π/3)+isin(-π/3)
Применяем формулу Муавра
(a₁)²⁰⁰⁶=((1-i√3)/2)²⁰⁰⁶=cos(-π·2006/3)+isin(-π·2006/3)=
=cos(-668π+(-2π/3))+isin(-668π+(-2π/3))=
=cos(-2π/3)+isin(-2π/3).

1/(a₁²⁰⁰⁶)=(1/a₁)²⁰⁰⁶=(a₂)²⁰⁰⁶=cos(π·2006/3)+isin(π·2006/3)=
=cos(2π/3)+isin(2π/3).

(a₁)²⁰⁰⁶+(1/a₁)²⁰⁰⁶=(a₁)²⁰⁰⁶+(a₂)²⁰⁰⁶=cos(-2π/3)+isin(-2π/3)+cos(2π/3)+isin(2π/3)=cos(2π/3)+cos(2π/3)=(1/2)+(1/2)=1

(a₂)²⁰⁰⁶+(1/a₂)²⁰⁰⁶=(a₂)²⁰⁰⁶+(a₁)²⁰⁰⁶=1