Question

Помогите, пожалуйста!
Найти произведение корней:
$x^{2} +x+ frac{4}{x} ( frac{1}{2} + frac{1}{x} )=16$

Answer 1

$x^{2} +x+ frac{4}{x}( frac{1}{2} + frac{1}{x})=16$

ОДЗ:  $x neq 0$

$x^{2} +x+ frac{4}{2x} + frac{4}{x^2}=16$

$x^{2} +x+ frac{2}{x} + frac{4}{x^2}=16$

$(x^{2} + frac{4}{x^2})+(x+ frac{2}{x} )-16 =0$

Замена:  $x+ frac{2}{x} =t$

$(x+ frac{2}{x} )^2=t^2$

$x^{2} + frac{4}{x^2}+2*x* frac{2}{x} =t^2$

$x^{2} + frac{4}{x^2}+4 =t^2$

$x^{2} + frac{4}{x^2} =t^2 -4$

$t^2-4+t-16=0$

$t^2+t-20=0$

$D=1^2-4*1*(-20)=81$

$t_1= frac{-1+9}{2}=4$

$t_2= frac{-1-9}{2}=-5$

$x+ frac{2}{x} =4$                            или     $x+ frac{2}{x} =-5$

$x+ frac{2}{x} -4=0$                      или    $x+ frac{2}{x} +5=0$

$x^{2} -4x+2=0$                   или       $x^{2} +5x+2=0$

$D=(-4)^2-4*1*2=16-8=8$  или $D=5^2-4*1*2=25-8=17$

$x_1*x_2=2$                          или      $x_3*x_4=2$

$x_1*x_2*x_3*x_4=2*2=4$

Ответ:  $4$