Question

Помогите решить пример. Даю много баллов за верное решение.
Задание: решить предел по правилу Лопиталя.
$lim_{x to 2} (2-x)^{cos frac{ pi x}{4} } =[ 0^{0} ]=?$

Answer 1

Сначала преобразовываем предел вот так:
$lim_{x to 2} (2-x)^{cos frac{ pi x}{4}} =e^{ln( lim_{x to 2} (2-x)^{cos frac{ pi x}{4}}}=e^{ lim_{x to 2} ln(2-x)^{cos frac{ pi x}{4}}}= \ =e^{ lim_{x to 2} cos frac{ pi x}{4}ln(2-x)}=e^{lim_{x to 2} frac{ln(2-x)}{ frac{1}{cos frac{ pi x}{4}} } }$
А вот теперь уже ищем предел $lim_{x to 2} frac{ln(2-x)}{ frac{1}{cos frac{ pi x}{4}} }$, в котором имеем неопределенность вида oo/oo, по правилу Лопиталя. 
$lim_{x to 2} frac{ln(2-x)}{ frac{1}{cos frac{ pi x}{4}} } =lim_{x to 2} frac{(ln(2-x))'}{( frac{1}{cos frac{ pi x}{4}})' } =lim_{x to 2} frac{-(2-x)^{-1}}{ frac{ pi sin( frac{ pi x}{4}) }{4cos^2( frac{ pi x}{4}) } } } = \ =- frac{4}{ pi } lim_{x to 2} frac{ frac{cos^2(frac{ pi x}{4})}{2-x} }{sin(frac{ pi x}{4})} =- frac{4}{ pi } lim_{x to 2} frac{cos^2(frac{ pi x}{4})}{2-x} =- lim_{x to 2}sin(frac{ pi x}{2})=0$
Значит основной предел равен e^0=1