Question

Найти объём правильной шестиугольной пирамиды, если плоский угол при вершине пирамиды равен 45 градусов , а сторона основания равна 2

Answer 1

$V= frac{1}{3}* S_{osn}*H$
МABCDEF правильная пирамида
$S_{osn}=6* frac{ a^{2 } sqrt{3} }{4} = frac{3a ^{2} sqrt{3} }{2}$
$S= frac{ a^{2} sqrt{3} }{4}$площадь правильного треугольника
a=2
$S_{osn}= frac{3* 2^{2} sqrt{3} }{2} =6 sqrt{3}$
ΔAMB: <M=45°, AB=2. AM=BM=x
по теореме косинусов
AB²=AM²+BM²-2*AM*BM*cos<M
2²=x²+x²-2*x*x*cos45°
$4=2 x^{2} -2 x^{2} * frac{ sqrt{2} }{2}$
$4= x^{2} *(2- sqrt{2} )$
$x^{2} = frac{4}{2- sqrt{2} } , x^{2} = frac{4*(2+ sqrt{2} )}{(2- sqrt{2} )*(2+ sqrt{2} )} , x^{2} = frac{4*(2+ sqrt{2} )}{4-2} x^{2} =2*(2+ sqrt{2} )$
ΔAOM: <AOM=90°, AO=2, AM²=2*(2+2√2). O - точка пересечения диагоналей основания пирамиды,  основание высоты пирамиды
по теореме Пифагора: AM²=AO²+OM²
OM²=AM²-AO²
OM²=2*(2+√2)-2², OM²=4+2√2-4
OM²=2√2. OM=√(2√2). H=√(2√2)
$V=6 sqrt{3} *( sqrt{2 sqrt{2} } ) V=6 sqrt{6 sqrt{2} }$