Question

Решите в натуральных числах 2^n+65=k^2.

Answer 1

1) Если n=1, то решений нет
2) Если n>1 и n - нечетное, то при делении на 5 левая часть дает остаток 2 или 3, а правая 0,1 или 4, поэтому в этом случае решений нет.
3) Если n=2r, то 65=(k-2^r)(k+2^r), откуда  
k-2^r=1 и k+2^r=65, т.е. k=33, r=5, n=10 или
k-2^r=5 и k+2^r=13, т.е. k=9, r=2, n=4.
Итак, ответ: n=10, k=33 и n=4, k=9.