Question

прошу, помогите решить задачу! желательно подробно. заранее спасибо.
за подробное решение отмечаю ответ как лучший.
Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС равны соответственно 8, 4 и 6. Точка F делит сторону АС в отношении АF:FС=2:1, отрезок ВF пересекает биссектрису АD треугольника АВС в точке О, а прямая СО пересекает сторону АВ в точке К. Найдите площадь треугольника ОВК.

Answer 1

Продлим BC на свою длину до точки Е и BF продлим до пересечения с AE в точке G. АС и BG - медианы равнобедренного тр-ка ABE (т.к. АF:FС=2:1, BС=CE, AB=BE=8), значит BF и CK - биссектрисы треугольника ABC, О - центр окружности вписанной в ABC. Отсюда по свойству биссектрис BK/(AB-BK)=BC/AC, т.е. BK/(8-BK)=4/6, откуда BK=16/5. Полупериметр ABC равен p=(4+6+8)/2=9. По Герону
S(ABC)=√9·(9-4)·(9-6)·(9-8)=3√15. Значит r=S(ABC)/p=(√15)/3. Значит S(OBK)=BK·r/2=16/5·(√15)/6=8/√15.