Question

Помогите решить сложную систему(или хотя бы наведите на мысль)! 99 балов
Система из трех уравнений записсанных ниже
$frac{1}{x} + frac{1}{y+z} = frac{6}{5} \ frac{1}{y} + frac{1}{x+z} = frac{3}{4} \ frac{1}{z} + frac{1}{y+x} = frac{2}{3}$

Answer 1

$begin{cases} & text{ } frac{1}{x}+ frac{1}{y+z}= frac{6}{5}|cdot 5x(y+z) \ & text{ } frac{1}{y}+ frac{1}{x+z}= frac{3}{4}|cdot4y(x+z)\ &text{ } frac{1}{z} + frac{1}{y+x} = frac{2}{3}|cdot3z(y+x) end{cases}\ \ begin{cases} & text{ } 6xy+6xz-5x-5y-5z=0 \ & text{ } 3xy+3yz-4x-4y-4z=0 \ & text{ } 2xz+2yz-3x-3y-3z=0 end{cases},,,,Rightarrow$

$Rightarrow begin{cases} & text{ } (6y+6z-5)x-5y-5z=0 \ & text{ } ............ \ & text{ } ......... end{cases}Rightarrowbegin{cases} & text{ } x= frac{5y+5z}{6y+6z-5} \ & text{ } ............. \ & text{ } ............... end{cases}$

$begin{cases} & text{ } 3cdot frac{5y+5z}{6y+6z-5}+3yz-4cdot frac{5y+5z}{6y+6z-5} -4y-4z=0 \ & text{ } 2cdot frac{5y+5z}{6y+6z-5} +2yz-3cdot frac{5y+5z}{6y+6z-5} -3y-3x=0 end{cases}$
Упростив, получаем систему
 $begin{cases} & text{ } frac{6y^2z+6yz^2-3y^2-16yz-8z^2}{6y+6z-5} =0 \ & text{ } frac{6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2}{6y+6z-5} =0 end{cases}Rightarrow begin{cases} & text{ } 6y^2z+6yz^2-3y^2-16yz-8z^2=0 \ & text{ } 6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2=0 end{cases}$


$begin{cases} & text{ } 6y^2z+6yz^2-3y^2-16yz-8z^2-6y^2z-6yz^2+9y^2+18yz+4z^2=0 \ & text{ } 6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2=0 end{cases}$

$begin{cases} & text{ } 6y^2+2yz-4z^2=0 \ & text{ } 6y^2z+6yz^2-9y^2-18yz-4z^2=0 ,,,,,(*)end{cases}$

Решим первое уравнение
 $6y^2+2yz-4z^2=0|:2z^2\ 3cdot(frac{y}{z} )^2+frac{y}{z}-2=0$
Пусть $frac{y}{z}=t$, тогда
$3t^2+t-2=0\ D=1+24=25\ t_1=-1\ t_2= frac{2}{3}$

Возвращаемся к замене
 $y=-z\ y= frac{2}{3} z$

Подставим переменные у в уравнение (*)

Если $y=-z$, тогда
$6z^3-6z^3-9z^2+18z^2-4z^2=0\ 5z^2=0\ z=0$

Дальше искать значения $x,y$ нет смысла, т.к. z=0 и если подставить в уравнение, то знаменатель дроби обращается в 0.


Если $y= frac{2}{3}z$
$8z^3+12z^3-12z^2-48z^2=0\ 20z^3-60z^2=0\ 20z^2(z-3)=0\ z=3\ x=1\y=2$


Ответ: $(1;2;3)$

Answer 2

Сделаем замену y=ux, z=vx. Получим
1+1/(u+v)=6x/5
1/u+1/(1+v)=3x/4
1/v+1/(1+u)=2x/3
Приводим к общему знам. и делим 1-ое ур-е на 2-ое и 1-ое на 3-е:
u(1+v)/(u+v)=8/5
v(1+u)/(u+v)=9/5
Отсюда u+uv=8(u+v)/5 и v+uv=9(u+v)/5. Вычитаем из 2-го 1-ое:
v-u=(u+v)/5, откуда v=3u/2. Подставляем обратно в 1-ое:
u(1+3u/2)/(u+3u/2)=8/5, откуда u=2, v=3. Все это в исходную замену:
1+1/5=6x/5. Значит х=1, у=2, z=3.