Question

a,b,c - стороны треугольник, а S-его площадь. Докажите, что а) S≤$frac{1}{2}ab$ b) S≤$frac{1}{6} (ab+ac+bc)$ c) S≤$frac{1}{2} ( a^{2}+ b^{2} + c^{2} )$

Answer 1

S=1/2·ab·sinC≤ab/2. Значит S≤bc/2, S≤ac/2. Сложим их: 3S≤(ab+bc+ac)/2, получаем б). Т.к. ab≤(a²+b²)/2, то
S≤(ab+bc+ac)/6≤((a²+b²)+(b²+c²)+(a²+c²))/12=(a²+b²+c²)/6.

Answer 2

ab≤(a²+b²)/2 Это конечно так, но очевидно ли?

Answer 3

ну, да, перенести все в одну сторону и полный квадрат выделить. Или как неравенство для средних: среднее арифм. чисел a^2 и b^2 больше их ср. геометрического.

Answer 4

да это ясно, но наверху сидит кажется 9 класс.

Answer 5

Про то, что ав меньше (а^2 +2ab+d^20 они бы поняли