Question

Докажите неравенство: $frac{1}{1*1} + frac{1}{2*2}+ frac{1}{3*3}...+ frac{1}{n*n}$≤$1 frac{3}{4}$

Answer 1

Начиная с 3-го слагаемого применим неравенство
1/k²<1/((k-1)k)=1/(k-1)-1/k. Тогда левая часть исходного неравенства не превосходит величины
1+1/4+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+...+(1/(n-1)-1/n)=1+1/4+1/2-1/n<7/4.