Question

x^2*y^'+y=0
y^''+3y^'-4y=0
помогите решить два дифференциальных уравнения

Answer 1

$x^2cdot y'+y=0$

$frac{dy}{dx} =-frac{y}{x^2}$
Разделим обе части уравнения на $y$, получим

$frac{dy}{ycdot dx} =- frac{1}{x^2}$
Проинтегрируем обе части, т.е.
$ln |y|= frac{1}{x} +C\ \ y=e^{ frac{1}{x}+C }$


$y''+3y'-4y=0\ \ frac{d^2y}{dx^2} +3cdot frac{dy}{dx}-4y=0$

Сделаем замену. Пусть $y=e^{ beta x},,,,,, beta -const$, тогда

$beta ^2e^{ beta x}+3 beta e^{ beta x}-4e^{ beta x}=0\ e^{ beta x}( beta ^2+3 beta -4)=0\ beta ^2+3 beta -4=0$
По т. Виета: 
   $beta _1=-4\ beta _2=1$

Возвращаемся к замене

$y_1=e^{ beta x}=C_1cdot e^{-4x}\ y_2=e^{ beta x}=C_2cdot e^{ x}$



Общее решение $y=C_1cdot e^{ -4x}+C_2cdot e^{ x}$