Question

Решите в натуральных числах:
x+$frac{1}{y+ frac{1}{z} } = frac{10}{7}$

Answer 1

x+1/(y+1/z)=10/7
x+1/(y+1/z)
x+1/(y+1/z)=1³/₇
x+1(y+1/z)=1+3/7
x=1
1/(y+1/z)=3/7
y+1/z=7/3
y+1/z=2¹/3
y+1/z=2+1/3  ⇒
y=2   z=3
Ответ:  x=1   y=2   z=3.

Answer 2

$x+frac{1}{y+ frac{1}{z} } = frac{10}{7} \ frac{1}{y+ frac{1}{z} } = frac{10}{7} - x \ frac{1}{y+ frac{1}{z} } = frac{10- 7x}{7} \ (y+ frac{1}{z} )*(10- 7x) = 7$  (*)

Видим, что  произведение двух множителей даёт число 7.
Причём  первая скобка  при  любых натуральных y и z  будет всегда положительна.  Тогда и вторая скобка обязана быть положительной, поскольку результат произведения скобок -  положителен.

=>   $10 - 7x textgreater 0$ , где  х ∈  N.
Очевидно, что  таким числом может быть только 1:  
 $10 - 7*1 = 10 - 7 = 3 textgreater 0$

Итак,  нашли, что   х = 1.

Теперь подставим это значение х в уравнение  (*). Получим:

$(y+ frac{1}{z} )*(10- 7*1) = 7 \ (y+ frac{1}{z})*3 = 7 \ y+ frac{1}{z} = frac{7}{3} \ y+ frac{1}{z} = 2+ frac{1}{3}$

=>  y=2,   z=3

Ответ:  x=1;  y=2;   z=3.