Question

24. Розкласти число 170 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ділилось на 11, а друге — на 13.

Answer 1

Это значит, что нужно найти такие целые x>0 и y>0, что выполняется 11x+13y=170.
1) 11x=170-13y
x = (170-13y)/11 = (165+5-11y-2y)/11=15-y+(5-2y)/11.
Это значит, что (5-2y)/11 должно быть целым. Обозначим его как q.
2) q=(5-2y)/11
5-2y=11q
2y=5-11q
y=(5-11q)/2=(4+1-12q+q)/2=2-6q+(1+q)/2
Это значит, что (1+q)/2 должно быть целым. => 1+q - четное => q - нечетное. q=2k+1, где k-целое.
Теперь y=(5-11*(2k+1))/2=-3-11k
x=(170-13y)/11=(170-13*(-3-11k))/11=19+13k.
Теперь определим, при каких целых k выполняется условие, что x>0 и y>0:
-3-11k>0,
19+13k>0
__________
11k<3,
13k>-19
_______
-19/13<k<3/11
Отсюда k=-1. Подставим его:
x=19+13*(-1)=6,
y=-3-11*(-1)=8.
Тогда 170=11*6+13*8=66+104.
Ответ: 66, 104.