Question

Отрезок АВ пересекает прямую а в точке М. Известно,
что АМ == ВМ. Докажите, что точки А и В находятся
на одинаковом расстоянии от прямой а.

Answer 1

Чертеж прилагается ниже.

Дано: a ∩ [AB] = M
           |AM| = |MB|

Доказать: |AC| = |BD|

Доказательство:  При пересечении отрезком [AB] прямой а образуются 
                               вертикальные углы ∠CMA = ∠BMD.

Так как расстояние от точки до прямой определяется перпендикуляром из этой точки на прямую, то:
                                                    ∠ACM = ∠BDM = 90°
В треугольниках ΔMCA и ΔMDB:
                                                         ∠ACM = ∠BDM = 90°
                                                         ∠CMA = ∠BMD,
                                                           
следовательно, ∠CAM = ∠MBD  по теореме о сумме внутренних углов треугольника.
А, значит, ΔMCA = ΔMDB  по стороне и двум прилежащим углам.

Так как в равных треугольниках соответственные стороны равны, то:
                  |AC| = |BD|, ч.т.д.