Question

Найти сумму без использования индукции: 1*2 + 2*3*x+3*4*x^2+ 4*5*x^3+....

Answer 1

$1*2 + 2*3x+3*4x^2+ 4*5x^3+... = sumlimits_{n=0}^{infty}(n+1)(n+2)x^{n}$

 

Это степенной ряд, найдём его радиус сходимости.

 

Согласно признаку Даламбера.

$R = lim_{n -> +infty}|frac{a_n}{a_{n+1}}|= lim_{n -> +infty}|frac{(n+1)(n+2)}{(n+2)(n+3)}| =\\ lim_{n -> +infty}|frac{(n+1)}{(n+3)}| =lim_{n -> +infty}|1 - frac{2}{n+3}| = 1$

Так как радиус сходимости степенного ряда $sumlimits_{n=0}^{infty}(n+1)(n+2)x^{n} (*)$ равен 1, то при |x| >1, ряд расходится.

 

Проверим сходимость в точках x = 1 и x = -1.

 

При x = 1, ряд (*) — расходится (так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда).

 

При x = -1, ряд (*) – расходится (так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда).

 

Ряд сходится при |x| < 1.

 

$S_n = 1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1}\\ 1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1} =\\ (2x+3x^2+4x^3+5x^4+ ... + (n+1)x^{n})' = \\(x^2+x^3+x^4+x^5+ ... + x^{n+1})'' =\\ (x^2(1+x+x^2+x^3+ ... + x^{n-1}))''$

 

$1+x+x^2+x^3+ ... + x^{n-1} + ...$ - разложение в ряд Маклорена функции $frac{1}{1-x}$

 

См. дальнейшее решение во вложении.

 

$1*2 + 2*3*x+...+n*(n+1)x^{n-1} + ... = frac{2}{(1-x)^3}$ при $|x| < 1$