Question

Прошу помогите решить пожалуйста. Задание есть во вложениях.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке:
$f(x)=frac{x^3}{3}-frac{3x^2}{2}+2x$
x∈[0;3]

Answer 1

Сначала найдем производную данной функции

$f'_x(x)=3*frac{x^2}{3}-frac{3}{2}*2*x+2$

$f'_x(x)=x^2-3*x+2$

 

Теперь узнаем, существуют ли точки экстремума у исходной функции $f(x)$ на промежутке $[0,,3]$. Для этого приравняем производную к нулю. Причем нас интересуют только нули, которые находятся внутри данного промежутка.

$x^2-3*x+2=0$

 

$D=3^2-4*2$

 

$D=1$

 

$x_{1,2}=frac{3pm1}{2}$

 

$x_1=1,quad x_2=2$

 

Обе точки попадают в промежуток. Придется искать значения исходной функции $f(x)$  в этих двух точках, так как они экстремумы и на концах отрезка.

 

$f(0)=frac{0^3}{3}-frac{3*0^2}{2}+2*0$

 

$f(0)=0$

 

$f(1)=frac{1^3}{3}-frac{3*1^2}{2}+2*1$

 

$f(1)=frac{1}{3}-frac{3}{2}+2$

 

$f(1)=frac{1}{3}+frac{1}{2}$

 

$f(1)=frac{5}{6}$

 

$f(2)=frac{2^3}{3}-frac{3*2^2}{2}+2*2$

 

$f(2)=frac{8}{3}-frac{12}{2}+4$

 

$f(2)=frac{8}{3}-2$

 

$f(2)=frac{2}{3}$

 

$f(3)=frac{3^3}{3}-frac{3*3^2}{2}+2*3$

 

$f(3)=-frac{3^3}{6}+2*3$

 

$f(3)=-frac{3^2}{2}+6$

 

$f(3)=1,5$

 

Ответ:

 

наибольшее значение функция принимает в точке $f(3)=1,5$

 

наименьшее значение функция принимает в точке $f(0)=0$

 

То есть на концах отрезка

 

Answer 2

$y'=(frac{x^3}{3}-frac{3x^2}{2}+2x)'=x^2-3x+2 \ y'=0 \ x^2-3x+2=0 \ D=9-4*2=1=1^2 \ x_1=frac{3+1}{2}=2 in [0; 3] x_2=frac{1-3}{2}=-1 \ \ y(0)=0 \ y(2)=frac{8}{3}-6+4=frac{2}{3} \ \ y(3)=9-frac{27}{2}+6=1,5$

 

Наибольшее значение в точке (3; 1,5)

Наименьшее значение в точке (0; 0)