Question

Упростите выражение
$displaystyle sqrt{frac{1}{2}+frac{1}{2}sqrt{frac{1}{2}+frac{1}{2}sqrt{frac{1}{2}+frac{1}{2}cos2alpha}}}$ при $0 leq alpha leq pi/2$

Answer 1

$frac{1}{2} + frac{1}{2}cos2 alpha = frac{1}{2} cdot (1+cos2 alpha )=frac{1}{2}cdot 2cos^2 alpha =cos^2 alpha \\Tak; kak; ; 0 leq alpha leq frac{pi}{2}; ,; to; cos alpha textgreater 0; ; i; ; sqrt{cos^2 alpha }=|cos alpha |=cos alpha .\\ sqrt{frac{1}{2}+ frac{1}{2}sqrt{frac{1}{2}+frac{1}{2}sqrt{frac{1}{2}+frac{1}{2}cos2 alpha }} } = sqrt{frac{1}{2}+frac{1}{2} sqrt{frac{1}{2}+frac{1}{2}sqrt{cos^2 alpha }} } =$

$= sqrt{ frac{1}{2} + frac{1}{2} sqrt{ frac{1}{2} +frac{1}{2} cdot cos alpha } } = sqrt{ frac{1}{2} + frac{1}{2}sqrt{frac{1}{2}cdot (1+cos alpha )} } =\\= sqrt{ frac{1}{2} + frac{1}{2} sqrt{frac{1}{2}cdot 2cos^2frac{ alpha }{2}} } = sqrt{ frac{1}{2} + frac{1}{2}cos frac{ alpha }{2} } = sqrt{ frac{1}{2}cdot (1+cosfrac{ alpha }{2}) } =$

$= sqrt{ frac{1}{2}cdot 2cos^2frac{ alpha }{4} } = sqrt{cos^2 frac{ alpha }{4}}=|cos frac{ alpha }{4} } |=cosfrac{ alpha }{4}$