Question

Знайдіть площу повної поверхні конуса, якщо його висота дорівнює H, а твірна утворює кут a з площиною основи.

На русском языке:

Найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна H, а образующая образует угол a с плоскостью основания

Answer 1

См. рисунок.

1) Пусть ABS - данный конус. SO⊥AB, SO - высота конуса, SO=H.

∠SBO=α.

S(полной поверхности)-?

2) S(п.п.)=Sоснования+Sбок.

So=πR²

Sб=πRl

Из треугольника SOB(∠SOB=90°)

OB=tg(α)*H=R

SB=Hsin(α)=l

$Sp.p=S_o+S_b=pi R^2+pi Rl=\\ =pi(tgalpha *H)^2+pi*tgalpha*H*frac{H}{sinalpha }=\\=pi tg^2(alpha)H^2+frac{pi tg(alpha)H^2}{sinalpha }=frac{pi tg^2(alpha )H^2 sin(alpha )+pi tg(alpha )H^2}{sinalpha }=\\={frac{pi tg(alpha )H^2(tg(alpha)sin(alpha )+1)}{sinalpha }=frac{pi*frac{sin(alpha)}{cos(alpha )}H^2(frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}*sin(alpha)+1 )}{sin(alpha )}}=\\=frac{pi H^2frac{sin(alpha)}{cos(alpha)}*frac{sin^2(alpha)+cos(alpha)}{cos(alpha)}}{sin(alpha)}=frac{frac{pi H^2(sin^2(alpha)+cos(alpha))}{cos^2(alpha)}}{sin(alpha)}=frac{pi H^2(sin^2(alpha)+cos(alpha))}{cos^2(alpha)}=\\=boxed{frac{pi H^2*sin^2(alpha)+pi H^2*cos(alpha)}{cos^2(alpha)} }$