Question

(2 +√(5))^(1/3) + (2 -√(5))^(1/3)

Answer 1

$sqrt[3]{2+sqrt5} + sqrt[3]{2-sqrt5}=A\\a=sqrt[3]{2+sqrt5} ; ,; ; b=sqrt[3]{2-sqrt5}; ; ; to ; ; ; A=a+b\\A^3=(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)=a^3+b^3+3abcdot A\\A^3=(2+sqrt5)+(2-sqrt5)+3sqrt[3]{(2+sqrt5)(2-sqrt5)}cdot A\\A^3=4+3sqrt[3]{4-5}cdot A\\A^3=4-3A; ; ; Rightarrow ; ; ; A^3+3A-4=0$

Методом подбора получаем корень последнего уравнения А=1. Делим левую часть уравнения на (А-1), получим А²+А+4, тогда

$A^3+3A-4=(A-1)(A^2+A+4)=0\\A^2+A+4=0; ; to ; ; D=1-16=-15 textless 0; ; to ; net; kornej\\Otvet:; ; A=a+b=sqrt[3]{2+sqrt5}+sqrt[3]{2-sqrt5}=1$