Question

Исследовать на сходимость числовой ряд:

 

$sum_{n=1}^{infty} arctg(frac{5+n^2}{n^3+6n})$

Answer 1

Известно, что

$mathrm{arctg},x>dfrac x2$

по крайней мере при x принадлежащих интервалу (0, 1)

(Это легко приверить: при таких x функция y=arctg x - x/2 возрастает)

 

Поэтому можно посмотреть на ряд 

$dfrac12sumlimits_{n=1}^{infty} dfrac{5+n^2}{n^3+6n}=dfrac12sumlimits_{n=1}^{infty} left(dfrac1n-dfrac1{n^3+6n}right)$

Ясное дело, этот ряд расходится. Тогда по признаку сравнения и исходный ряд также расходится.