Question

Доказать, что функция у=f(x) является периодической с периодом $2 pi$ , если:
1) $y=sin(x- frac{ pi }{4} )$
2)$y=cos(x+ frac{2 pi }{3} )$

Answer 1

Докажем за определением периодической функции:
f(x) = f(x + T) = f(x − T)

(условие на область определения оно выполняется, так как синус и косинус определены на множестве всех действительных числе)

1) покажем, что выполняется $sin(x-frac{pi}{4})=sin(x-frac{pi}{4}+2pi)=sin(x-frac{pi}{4}-2pi)$
Это и будет означать за определением в случае синуса, что функция 
$sin(x-frac{pi}{4})$ периодична с периодом $2pi$.

$sin(x-frac{pi}{4}+2pi)=sin(x-frac{pi}{4})cos(2pi)+cos(x-frac{pi}{4})sin(2pi)=$
$=sin(x-frac{pi}{4})*1+cos(x-frac{pi}{4})*0=sin(x-frac{pi}{4})$

$sin(x-frac{pi}{4}-2pi)=sin(x-frac{pi}{4})cos(2pi)-cos(x-frac{pi}{4})sin(2pi)=$
$=sin(x-frac{pi}{4})*1-cos(x-frac{pi}{4})*0=sin(x-frac{pi}{4})$

Доказано

2) $cos(x+frac{2pi}{3}+2pi)=cos(x+frac{2pi}{3})cos(2pi)-sin(x+frac{2pi}{3})sin(2pi)=$
$=cos(x+frac{2pi}{3})*1-sin(x+frac{2pi}{3})*0=cos(x+frac{2pi}{3})$

$cos(x+frac{2pi}{3}-2pi)=cos(x+frac{2pi}{3})cos(2pi)+sin(x+frac{2pi}{3})sin(2pi)=$
$=cos(x+frac{2pi}{3})*1+sin(x+frac{2pi}{3})*0=cos(x+frac{2pi}{3})$

Доказано