Question

Докажите, что функция $g(x)= frac{6}{|x|+2}$ убывает на промежутке [0;+∞) и возрастает на промежутке (-∞;0].

Answer 1

Рассмотрим функцию $y=|x|=left{begin{array}{r} x, x geq 0 \ -x, x textless 0 end{array}$, возрастающую на промежутке $[0;+infty)$ и убывающую на промежутке $(-infty; 0]$. Тогда, такой же характер монотонности имеет и функция $y=|x|+2$.

Функция, обратная для возрастающей на некотором промежутке, является убывающей на этом же промежутке. Аналогично, функция, обратная для убывающей на некотором промежутке, возрастает на этом промежутке.

Значит, функция $y= frac{1}{|x|+2}$ убывает на промежутке $[0;+infty)$ и возрастает на промежутке $(-infty; 0]$. Вместе с ней и функция $y= frac{6}{|x|+2}$ убывает на промежутке $[0;+infty)$ и возрастает на промежутке $(-infty; 0]$.