Question

$frac{6}{4 x^{2} -1} + frac{3}{2x+1} = frac{2}{2x-1} + 1$

5x^4-12x^3+11x^2-12x+5=0

$sqrt{3x+1}- sqrt{x-1}=2$

При каких значениях параметра а уравнение 4x^2-ax+a-3=0 имеет только один корень?

Answer 1

$frac{6}{(2x-1)(2x+1)} + frac{3}{2x+1} - frac{2}{2x-1} -1=0$
$frac{6+3(2x-1)-2(2x+1)-(4x^2-1)}{(2x-1)(2x+1)}=0$
$left { {{6+6x-3-4x-2-4x^2+1=0} atop {x neq - frac{1}{2},and,x neq frac{1}{2} }} right. ; left { {{-4x^2+2x+2=0} atop {x neq - frac{1}{2},and,x neq frac{1}{2} }} right. ; left { {{2x^2-x-1=0} atop {x neq - frac{1}{2},and,x neq frac{1}{2} }} right. ;$
$left { {{2x^2-2x+x-1=0} atop {x neq - frac{1}{2},and,x neq frac{1}{2} }} right. ; left { {{2x*(x-1)+1*(x-1)=0} atop {x neq - frac{1}{2},and,x neq frac{1}{2} }} right. ; left { {{(x-1)(2x+1)=0} atop {x neq - frac{1}{2},and,x neq frac{1}{2} }} right. ;$
$left { {{x=1,or,x= -frac{1}{2} } atop {x neq - frac{1}{2},and,x neq frac{1}{2} }} right. ;$
$x=1$

Ответ: 1
--------------------------------------
$5x^4-12x^3+11x^2-12x+5=0$
если коэффициенты действительно такие, то это уравнение решается лишь за формулами Кардано (на подобие формул корней квадратного уравнения, только для уравнения 4-го степени).
 И тут не применишь и метод неопределенных коэффициентов (ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)=5x^4-12x^3+11x^2-12x+5, так как коэффициенты b,c,e,f - иррациональны.
Формулы Кардано в обычном курсе алгебры в школе не изучают, в углубленном курсе кажется так же не изучают.
Прикрепляю скрин

$sqrt{3x+1}- sqrt{x-1}=2$
$sqrt{3x+1}= sqrt{x-1}+2$, $x geq 1$
$3x+1= x-1+4sqrt{x-1}+4$, $x geq 1$
$x-1=2sqrt{x-1}$, $x geq 1$
$( sqrt{x-1}) ^2-2sqrt{x-1}=0$, $x geq 1$
$sqrt{x-1}( sqrt{x-1} -2)=0$, $x geq 1$

два случая:
1) $sqrt{x-1}=0,if,x geq 1$
$x=1$

2) $sqrt{x-1} =2,if,x geq 1$
$x=5,if,x geq 1$
$x=5$

Ответ: 1 и 5
------------------------------
$4x^2-ax+a-3=0$
$4x^2-ax+a-3$ - парабола ветками вверх, нам нужен случай, когда вершина параболы лежит на оси ОХ, т.е. когда парабола пересекает эту ось в одной точке.
И это будет тогда и только тогда, когда дискриминант обращается в нуль:
$D=(-a)^2-4*4(a+3)=a^2-16a+48=a^2-4a-12a+48=$
$D=a(a-4)-12(a-4)=(a-12)(a-4)$
Получили, что это случается если $a=4,or,a=12$

Ответ: 4; 12.